做过一千套题却不能解决一个问题？这个新老师的答案出乎意料

2018年教育部公布《普通高中课程方案与课程标准》，发展核心素养成为贯穿整个新高中课程的主线。而其中，数学建模作为数学的六大核心素养之一正式进入教材并且成为必修项，其重要性不言而喻。如何开展数学建模活动，如何真正使数学建模成为学生的数学素养，本期《师说》带着这些疑问，北京大学地球物理学硕士研究生、南外高中新老师郑玲珑给同学带来了一堂《数学与建模思维的简单应用》。

  ▶数学建模课

1.

开启数学建模之路——MCM/ICM

“我本科所学专业要求我们学习一些数学相关课程包括高等数学、现代概率论、线性代数、复变函数、数理方程、数值计算等，除此之外物理、计算机相关课程的学习也是必经之路。学了这么多东西之后，我突然陷入思考，我究竟在学习什么，学到什么程度，这些知识有什么意义，与生活有何联系，这些知识的融合能有什么奇妙的化学反应，现在的我可以做什么？处于混乱中的我急需一种方式去检验自己，证明自己。很偶然的，2016年处于大三的我接触到美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），这个竞赛的综合性题目满足我所有的需求，能够综合性的考察我的能力，我的数学建模旅程就这样开始了。”美赛要求三人（本科生）为一组，在四天时间内，团队从任何领域具有挑战性的现实问题中选择一个，仔细计划和开展辅助性研究，就指定的问题完成从建立模型、求解、验证到20页英文的技术性论文撰写的全部工作。当年出现叙利亚难民潮问题，其中一个题目跟这个事件紧密相关。

随着成千上万的难民在欧洲各地流动，每天都有更多难民涌入，许多国家和地区对难民融合政策和做法给予了极大的关注。历史向我们表明，大规模的逃亡是政治和社会动荡和战争的结果。这些危机带来了一系列独特的挑战，必须通过有效的政策谨慎应对。中东发生的事件已导致大量难民从中东移民到欧洲和亚洲部分地区的避风港国家，这些难民经常穿越地中海进入土耳其，匈牙利，德国，法国和英国等国家。截至2015年10月，欧洲国家收到了来自难民的超过715,000份庇护申请。匈牙利以近1位居榜首 每10万居民中有450份申请，但仅批准了这些申请的一小部分（2014年为32％），每10万居民中有近千名难民无家可归。欧洲建立了一个配额制度，每个国家都同意接纳一定数量的难民，其中大部分的安置负担在法国和德国。

难民有多种路线-从中东穿过（1）西地中海（2）中地中海（3）东地中海（4）西巴尔干半岛（5）东部边界和（6）阿尔巴尼亚至希腊。每种路线的安全性和可及性程度各不相同，最受欢迎的路线是东地中海，而最危险的路线是中地中海。负担最重的国家担心它们为难民提供食物，水，住房和医疗保健等资源的能力。有许多因素决定了难民如何决定在该地区迁移。交通情况，

联合国已请您的团队ICM-RUN（RefUgee aNalytics）帮助您更好地理解与促进难民从原籍国迁移到避难所国家有关的因素。

——2016年MCM大赛问题F：为难民移民政策建模 
"那么问题来了，往欧洲国家输送难民的话，每个国家分配多少难民？以什么路径运输？如何安置这些难民？这些都受各种各样复杂的因素影响，包括气候、地理位置、国家的资源能力、宗教等等……这些问题很贴近当年时事，一上来就跟现实政策挂钩，要求你以一个决策者的角度去处理。过往所学的知识，所培养的能力，能不能帮助我去解决这样复杂的问题？怀抱着激动又紧张的心情，我和我的伙伴兴致勃勃开始了我们的试验。一开始非常混乱许多问号充斥在我们脑中：这些难民人大概有多少人，他们分别从哪里开始出发？欧盟有多少国家，这些国家资源提供能力如何衡量？难民包容量如何计算？要到达这些国家，具体的输送方式又如何细化？在欧洲国家这些难民如何安置，设定何种政策保证难民移入后当地国家的稳定……我和我的小伙伴们一起头脑风暴，发现空想只能越来越复杂，必须开始动手展开第一步，先做起来。于是我们把所有能想到的有关因素一个个列下来，分头寻找相应辅助数据，确定五个特定因素作为影响参数，利用层次分析法对其进行权重计算，其次根据逻辑分析选择合适的难民流动模型，将最小死亡率和最大到达人数作为目标，进行建模和数学方法处理……整个过程对当时还是学生的我产生最大的感受是：社会上的现实问题，不见得能轻易列出主次，也不是非黑即白，它受各种因素影响，有一个很整体的效应。在建模过程中我们必须就“影响因素重要性”做出自己所认为合理的选择，必须通过逻辑分析去决定采用什么数学方法，这要求你注定要舍弃些什么，没有完美的选择，只能根据排序去控制参数，去做取舍，让我开始了解社会中不完美的无奈和重要性排序的必要。不同于简单的求解数学应用题，数学建模是一个建立模型的完整过程，由提出问题、选择建模方法、推导模型表达式、求解模型、回答问题、灵敏性和稳健性分析等步骤构成，这些步骤之间并非简单的线性关系，在完成模型的求解后对模型的参数进行敏感性分析，发现模型有优化的空间，从而回到模型的选择，再对模型进行进一步优化更是常态，这体现了迭代的思想。通常的数学题都有明确的已知条件和需要求解的问题，但是在数学建模时，这些都需要研究者通过对现实问题的分析从而提炼出来，这种能力恰恰是学生们所缺少的。在整个数学建模的过程中，数学知识的深入理解自然是贯穿始终，推导模型表达式和求解模型这两个步骤更是考察数学运算的能力，同时更多的培养了学生们一种提出问题、简化问题抓住核心、分析问题、深入探究、反思批判的思维方式。"

数学建模的步骤

2.

只知道理论，是远远不够的

“数学建模，让数学、物理和计算机结合在一起，让我内心对融合这些学科的数值模拟产生深入研究的想法。在确认保送名额后，我申请保送北京大学研究生，找了我现在的导师面谈。数学建模培养的思维方式和逻辑分析能力，使我在面谈的过程中能够迅速的反应，抓住老师的问题要点，跟上老师的想法，能够充分完整地表达自己的想法。 ”在研究生阶段，主要是进行利用数学方法模拟地震破裂过程的研究，在这个过程中更是进一步培养了郑玲珑的数学建模思维。为了进一步帮助大家体会数学建模的过程和思维方式，郑玲珑对芦山地震时构建的一个模型结合数学建模步骤展开了引导。整个过程包括对实际地震滑动状态进行研究，量化问题参数，选择了断层面的滑动量作为研究对象，建立数学模型，利用相关知识构建函数关系，借助Matlab等软件进行数值计算……，得到一张地震滑动速率的破裂模拟图，并引导学生自己总结数学规律，翻译得到对断层面地震破裂过程的直观描述。

郑老师讲解芦山地震滑动速率模拟图

为了使学生们初步接触MATLAB编程软件，郑玲珑将其中复杂的函数关系式隐去，针对其中的一小段简单MATLAB程序，和同学们一起来运行并进行分析，使学生们感受利用计算机进行数学建模的魅力。

(此处省略具体案例及上机操作一万字）

“可以看出数学建模中提出问题是很难的，需要你有一个转化思维，抓住核心要点，能把一个非常宏观的问题简化为数学的一些参量，这往往是解决问题的第一步，而你在回答问题时，又需要你能够抽象地把数学语言解释为现实规律，这些都是我们在日常学习中很难去集中锻炼但在处理现实问题中又极为重要的能力。”

郑玲珑强调数学建模的最后一步要进行模型灵敏性和稳健性检验，不要过于自信自己的结果，要经常带着批判性地眼光去观察数据，不断修改，这就是一个整体数学建模的思维方式。

3.

学以致用，数学建模无处不在

数学建模，代表的是一种学以致用的思想、一种活学活用举一反三的追求、一种思维方式的改变。数学建模并不只是解决复杂问题，生活中简单常见的我们每天吃饭进行的排队，也可以利用数学建模思维。例如我们可以在脑海中依据人流的多少，食堂阿姨的打饭速度，男女生比例等等因素，综合确定哪一队速度最快，以减少排队时间，再深一步我们就可以利用数学建模思考如何对吃饭排队方式进行优化以提高效率等。同时，数学建模也能够解决国家战略、星际探索等宏观层面的问题，例如前面提到的建模竞赛的主题--叙利亚难民问题等。从生活小事到国家发展，数学建模无处不在。郑玲珑认为随着大数据时代的来临，公司、用人单位对数学人才的需求不断提高，数学的市场应用性不断加强，向学生展示了北大学生就业指导服务中心的网站上，中金期货交易所、华为、广东省选调生、宝洁公司等金融、企业、事业单位各行各业对数学系毕业生现实需求，而数学建模就是数学应用的完整体现。

上机操作

4.

如果你不曾站在山顶，请别急着拒绝广阔的风景

“最后，我们来总结一下数学建模到底对高中生的帮助是什么？

第一，数学素养的提高。数学建模可以培养学生对数学概念、数学思想、数学理论的深入理解，懂得数学的价值，增强解决数学问题的能力，学会用数学交流，学会数学的思维方法，从而不断加强学习数学的信心。学生会发现以前觉得非常迷惑的复杂综合性应用题变得逐渐简单、清晰，能够对试题举一反三，归纳总结，数学成绩自然也能不断提升。第二，增强未来人生选择的应变能力。在人生长河里，作出的每个决定都是思维选择的结果，都是大脑经过各种分析比较得到的一个最优解。而数学建模思维能帮助在处理问题的时候，迅速抓住事物本质，快速反应找到解决问题的最佳方法，增强面对困难的应变能力。数学建模思维可以给我们提供更新鲜的视野，更优秀的反应能力。有的人说'老师，我不想那么优秀！'我想说的是：如果没有感受过优秀，如果不曾站在山顶，请别急着拒绝看到广阔的风景。”

嘉宾介绍

郑玲珑

本硕各科成绩斐然，其中高等数学Ⅰ满分、复变函数98分，年度综合排名稳居理科试验班前两名；曾获得三河环波特等奖学金、国家励志奖学金、地学攀登二等奖学金、刘光鼎地球物理奖学金、李四光地学奖学金、美国大学生数学建模竞赛一等奖等；编程处理叙利亚难民迁移问题（获Meritorious Winner（一等奖））。在2019中国地球科学联合学术年会上做数值模拟报告。

（感谢张国明老师对本文的贡献）

整理 / 校对/ 编辑：办公室

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